1.1 Metoda kovarijance
Drugi osnovni pristup definiranju govornog segmenta sn(m) i granica sumiranja je da se ograniči indeks m preko kojeg se usrednjava pogreška predikcije, te se uz tako odabrane granice sumacije odrede i granice za fn(i,k). Prema tome, ako je definirano
|
|
tada je raspon indeksa po m za En isti kao i za fn(i,k), odnosno
|
|
(9.5‑2) |
U ovom slučaju, ako promijenimo indekse sumiranja uvođenjem pomoćne varijable m', (dakle, m'=m‑i, ili m'=m‑k), tada fn(i,k) možemo izraziti na dva načina i to :
|
|
odnosno,
|
|
Iako izrazi (9.5‑3) i (9.5‑4) izgledaju vrlo slično kao izraz (9.4‑5), vidimo da granice sumiranja nisu iste. Izrazi (9.5‑3) i (9.5‑4) zahtijevaju vrijednosti sn(m) izvan intervala 0 £ m £ N‑1. Konkretno, za izračunavanje fn(i,k) za sve
potrebne kombinacije od i i k, trebaju se koristiti vrijednosti sn(m) unutar intervala ‑p £ m £ N‑1. Za razliku od autokorelacijskog postupka, kod kojeg se u
izračunavanju fn(i,k) pretpostavljalo da je signal sn(m) jednak nuli za 
, kod metode kovarijance se za izračunavanje fn(i,k) koriste i zadnjih p uzoraka iz
prethodnog segmenta (okvira analize) (‑p £ m £ ‑1). Zbog toga se kod metode kovarijance ne treba koristiti vremenski
otvor koji prigušuje signal prema rubovima segmenta, već se može koristiti
pravokutni otvor kod kojeg svi uzorci signala s jednakom težinom sudjeluju u
izračunavanju prediktora. Ovaj pristup vodi ka funkciji koja baš i nije
autokorelacijska funkcija, već odgovara kroskorelacijskoj funkcija dvaju vrlo
sličnih, ali ne i identičnih segmenta govornog signala konačne duljine (razlika
je upravo u rubnim uzorcima). Iako razlike između izraza (9.5‑3) i (9.5‑4) i izraza (9.4‑5) izgledaju kao sitni računski detalji, jednadžbe
linearnog sustava
|
|
(9.5‑5) |
imaju bitno različita svojstva koja značajno utječu na metodu izračunavanja prediktora kao i na svojstva rezultirajućeg optimalnog prediktora. U matričnom obliku, ove jednadžbe izgledaju ovako
|
|
(9.5‑6) |
U ovom slučaju, budući da je fn(i,k)=fn(k,i), (vidi izraze (9.5‑3) i (9.5‑4)), matrica {fn(i,k)} dimenzije pxp, koja sadrži kros-korelacije za sve pomake i i k je simetrična, ali nije Toeplitz strukture. Zapravo, može se pokazati da su svi elementi u desno ležećim dijagonalama povezani izrazom :
|
|
Korištenjem gornjeg izraza moguće je ubrzati postupak izračunavanja matrice {fn(i,k)}, tj. dovoljno je izračunati samo prvi stupac matrice {fn(i,1), i=1,2,..p} korištenjem originalnog izraza (9.5‑3) ili (9.5‑4), te zatim sve elemente na i ispod glavne dijagonale izračunati primjenom izraza (9.5‑7). Elementi iznad glavne dijagonale se nalaze zrcaljenjem oko glavne dijagonale. Prednost takvog pristupa je u tome što direktna primjena izraza (9.5‑3) ili (9.5‑4) zahtijeva cca. N množena i N zbrajanja za svaki element matrice fn(i,k), dok se izraz (9.5‑7) izvodi pomoću samo dva množenja i tri zbrajanja za sve elemente osim onih u prvom stupcu.
Postupak određivanja optimalnog prediktora opisan u ovom poglavlju koji minimizira predikcijsku pogrešku prema izrazu (9.5‑1), a temeljen na izračunavanju fn(i,k), poznat je pod nazivom "metoda kovarijance" zato jer matrica vrijednosti {fn(i,k)} ima svojstva kovarijancijske matrice.
Pokazano je da se različitim definiranjem segmenta govornog signala koji se analizira mogu dobiti dva različita sustava linearnih jednadžbi koji određuju optimalni linearni prediktor. Za autokorelacijsku metodu, signal je izdvojen vremenskim otvorom širine N uzoraka i koeficijenti sustava jednadžbi fn(i,k) se nalaze vremenski kratkotrajnom autokorelacijskom funkcijom. Rezultirajuća matrica je Toeplitz strukture i vodi ka jednom načinu rješavanja koeficijenata predikcije. Za metodu kovarijance, pretpostavlja se da je signal poznat za skup vremenskih indeksa unutar intervala ‑p £ m £ N‑1. Dovoljno je poznavati signal isključivo unutar tog intervala, jer samo ti uzorci figuriraju u izrazima za fn(i,k). Rezultirajuća korelacijska matrica (matrica linearnog sustava) je u ovom slučaju simetrična, ali nije Toeplitz strukture. Slično kao i kod autokorelacijske metode i ovdje postoji učinkovitiji postupak rješavanja sustava jednadžbi koji iskorištava činjenicu da je matrica sustava simetrična.
Važno je napomenut da se optimalni prediktori za te dvije metode razlikuju, a imaju i različita svojstva, što će biti diskutirano u narednim poglavljima.