1.1 Utjecaj gubitaka u vokalnom traktu

Izrazi za širenje zvuka u vokalnom traktu koji su do sada korišteni bili su izvedeni uz pretpostavku da ne postoje energetski gubitci. U stvarnosti, ti gubitci postoje i oni su posljedica trenja između zraka i stjenki cijevi, toplinske vodljivosti kroz stjenke i vibracije samih stjenki. Da bi i ovi utjecaji bili uključeni u jednadžbama širenja zvuka u vokalnom traktu potrebno je postaviti nove parcijalne diferencijalne jednadžbe koje uključuju i navedene gubitke. Rješavanje takvih jednadžbi je mnogo složenije nego u idealiziranom slučaju bez gubitaka, a glavni problem je u činjenici što su gubitci frekvencijski zavisni. Zbog toga se često koristi pojednostavljeni model koji kreće od jednadžbi za idealnu cijev bez gubitaka u frekvencijskoj domeni, a utjecaji gubitaka se modeliraju promjenom akustičke impedancije, odnosno admitancije. U nastavku ovog poglavlja bit će predstavljeni takvi modeli kojima se opisuju sva tri tipa gubitaka.

Prvo će biti razmotren gubitak koji nastaje uslijed vibracija stjenki vokalnog trakta. Različit zračni tlak na različitim mjestima unutar trakta uzrokuje i različitu silu na stjenke. U slučaju da su stjenke elastične poprečni presjek cijevi A(x,t) će se mijenjati u ovisnosti o tlaku u cijevi p(x,t). U slučaju da su promjene tlaka vrlo male, rezultirajuće promjene površine poprečnog presjeka mogu se razmatrati kao male promjene “nominalne“ površine, tj. :

(5.3‑1)

gdje su : A₀(x,t) nominalna površina poprečnog presjeka

δA(x,t) mala promjena površine poprečnog presjeka

Na slici 5.3‑1 je ilustrirana pojava povećanja nominalnog presjeka A₀(x,t) za promjenu δA(x,t). Zbog mase i elastičnosti stjenki vokalnog trakta veza između promjene površine δA(x,t) i promjene tlaka p(x,t) može biti predstavljena sljedećom diferencijalnom jednadžbom :

(5.3‑2)

gdje su : m_w masa po jedinici dužine stjenke vokalnog trakta

b_w prigušenje po jedinici dužine stjenke vokalnog trakta

k_w ukrućenost po jedinici dužine stjenke vokalnog trakta

Slika

5.3‑1

Ilustracija promjene poprečnog presjeka vokalnog trakta uslijed vibracija stjenki

Ako se izraz za poprečni presjek A(x,t) iz izraza (5.3‑1) uvrsti u parcijalne diferencijalne jednadžbe koje opisuju odnos brzine protoka u(x,t) i tlaka p(x,t) duž vokalnog trakta, prikazane u jednadžbama (5.1‑1) i (5.1‑2), tada slijedi:

	(5.3‑3)
	(5.3‑4)

Za male promjene poprečnog presjeka dA(x,t) moguće je u/A(x,t) zamijeniti sa u/A₀(x,t), odnosno pA(x,t) zamijeniti sa pA₀(x,t), što vodi do jednostavnije jednadžbe:

	(5.3‑5)
	(5.3‑6)

Radi određivanja utjecaja gubitaka uslijed elastičnosti stjenki, pogodno je razmotriti odnose brzine protoka i tlaka u frekvencijskoj domeni. Za slučaj elastične cijevi čiji je nominalni presjek A₀(x,t) vremenski nepromjenjiv, tj. A₀(x,t) º A₀(x) i koja je pobuđena sa brzinom protoka u(0,t) oblika kompleksne eksponencijale, tj. za:

(5.3‑7)

rješenje za brzinu protoka u(x,t) i tlak p(x,t) će također biti oblika kompleksnih eksponencijala iste frekvencije Ω, tj.

	(5.3‑8)
	(5.3‑9)

Takvo rješenje je moguće pretpostaviti zbog linearnosti i vremenske nepromjenjivosti parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.

Uvrštavajući pretpostavljena rješenja (5.3‑8) i (5.3‑9) u jednadžbe (5.3‑2), (5.3‑5) i (5.3‑6) slijedi:

	(5.3‑10)
	(5.3‑11)

gdje su :

	(5.3‑12)
	(5.3‑13)
	(5.3‑14)

U slučaju elastične cijevi vremenski nepromjenjivog nominalnog poprečnog presjeka izrazi su identični kao i za cijev bez gubitaka (izrazi (5.2‑16) do (5.2‑19)) osim za novi član Y_w. Razlika je i u tome što je sada A₀(x) funkcija od x, dok je prije bila konstanta A. Uz eksperimentalno određene parametre m_w, b_w i k _w za stvarno tkivo ,te uz rubne uvjete :

,

(5.3‑15)

moguće je odrediti novu frekvencijsku karakteristiku koja je prikazana slikom 5.3‑2. Ona prikazuje odnos brzine protoka volumena zraka na usnama (kraj cijevi) i brzine protoka volumena zraka na glasnicama (početak cijevi), te naravno uzima u obzir gubitke uslijed vibracija stjenki.

Dobivena frekvencijska karakteristika ima oblik:

(5.3‑16)

Slika

5.3‑2

Frekvencijska karakteristika cijevi poprečnog presjeka 5.0 cm^2 i duljine 17.5 cm sa vibrirajućim stjenkama i bez drugih gubitaka

Iz grafa je vidljivo da frekvencijska karakteristika više nije beskonačna na frekvencijama polova: 500 Hz, 1500Hz, 2500Hz itd. U pripadajućoj tablici na slici 5.3‑2 prikazane se centralne frekvencije formanata kao i širine pojasa. Širina pojasa se definira kao razlika dvije frekvencije (lijevo i desno od maksimuma) na kojima amplitudna karakteristika ima 3dB manju vrijednost nego u maksimumu. Vidljivo je da su centralne frekvencije više od centralnih frekvencija za slučaj bez gubitaka. Nadalje, širine pojasa na rezonantnim frekvencijama više nisu nula kao što je slučaj za idealne rezonatore kod cijevi bez gubitaka, već poprimaju neki konačan iznos. Uočavamo da je učinak vibracija stjenki najveći na niskim frekvencijama. Takvo ponašanje se moglo i očekivati, obzirom da stjenke vokalnog trakta relativno velike mase mogu pratiti varijacije tlaka samo na nižim frekvencijama, dok se pri visokim frekvencijama ponašaju kao kruta stjenka. Ponašanje ilustrirano u ovom primjeru na slici 5.3‑2 odnosi se na elastičnu cijev s vremenski nepromjenjivim poprečnim presjekom koji nije niti funkcija od x, tj. A₀(x)=A. Međutim ovakvo ponašanje je tipično i za druge oblike funkcije A₀(x) i može se zaključiti da gubitci uslijed elastičnosti stjenki uzrokuju povišenje centralnih frekvencija formanata i proširenje širine pojasa koje je posebno izraženo na niskim frekvencijama.

Učinci viskoznog trenja i toplinske vodljivosti kroz stjenke vokalnog trakta su manje izraženi i manje značajni od gore navedenih učinaka uslijed vibracija stjenki. Pokazalo se da se gubitci uslijed viskoznog trenja mogu uspješno modelirati u frekvencijskoj domeni modifikacijom izraza za akustičku impedanciju Z(x,W) i to dodavanjem realnog frekvencijski ovisnog dijela kao što je prikazano u slijedećem izrazu.

(5.3‑17)

gdje su : S(x) ... opseg vokalnog trakta na mjestu x,

μ ........ koeficijent trenja i

ρ ........ gustoća zraka u cijevi

Slično tome gubitak uslijed toplinske vodljivosti uzima se u obzir dodavanjem realnog frekvencijski ovisnog dijela samo ovaj puta akustičkoj admitanciji.

Novodobiveni izraz glasi :

(5.3‑18)

gdje su : c_p .... konstanta specifične topline uz konstantan tlak

η ..... omjer c_p i konstante specifične topline uz konstantan volumen c_v

λ ..... koeficijent toplinske vodljivosti

Iz gornje diskusije može se zaključiti da su gubitci uslijed viskoznog trenja proporcionalni realnom dijelu od Z(x,Ω), dok su gubitci uslijed toplinske vodljivosti proporcionalni realnom dijelu od Y(x,Ω). Iz izraza (5.3‑17) i (5.3‑18) je vidljivo da su u oba slučaja ti gubitci (realni dijelovi) proporcionalni drugom korijenu frekvencije, tj: Ω ^–1/2.

Uzimajući u obzir izraze za akustičku impedanciju Z(x,Ω), (5.3‑17) i admitanciju Y(x,Ω), (5.3‑18), te izraz (5.3‑14) za dodatnu akustičku admitanciju Y_w moguće je numerički riješiti sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi (5.3‑10) i (5.3‑11).

Rezultirajuća frekvencijska karakteristika uz rubni uvjet p(l,t) = 0 dan je slikom 5.3‑3. Ponovo su centralne frekvencije i širine pojasa prikazane u tablici. Uspoređujući ovu sliku i pripadnu tablicu sa prethodnom primjećujemo da centralne frekvencije opadaju dodavanjem trenja i toplinskih gubitaka, dok se širine pojasa povećavaju.

Slika

5.3‑3

Frekvencijska karakteristika cijevi poprečnog presjeka 5.0 cm^2 i duljine 17.5 cm sa vibrirajućim stjenkama, trenjem i toplinskim gubitcima

Iz gore navedenih izraza te posebno iz njima pripadnih grafova i tablica zaključujemo da se viskozno trenje i toplinski gubitci povećavaju sa porastom frekvencije te stoga imaju najveći učinak na visokim frekvencijama, dok je učinak vibracija stjenki najizraženiji na niskim frekvencijama. Vibracije stjenki nastoje podići rezonantne frekvencije dok ih viskozno trenje i toplinski gubici nastoje smanjiti. Utjecaj trenja i toplinskih gubitaka je zanemarujući u usporedbi sa utjecajem elastičnih stjenki za frekvencije ispod 3-4kHz, tako da se za veći broj analiza širenja zvuka u vokalnom traktu mogu koristiti izrazi (5.3‑10) do (5.3‑14) kod kojih su ti gubitci zanemareni. U slijedećem poglavlju biti će pokazano da su gubitci uslijed zračenja na usnicama puno značajniji izvor visokofrekvencijskih gubitaka, što je dodatno opravdanje da se u modelima formiranja govora ignoriraju gubitci uslijed trenja i toplinske vodljivosti.